PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

   Persamaan Linear Satu Variabel

1.                  Kalimat Terbuka, Variabel, dan Konstanta

a.       Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat diketahui nilai kebenarannya.

b.      Variable (peubah) adalah lambang (symbol) pada kalimat terbuka yang dapat diganti oleh sembarang anggota himpunan yang telah ditentukan

c.       Konstanta adalah lambang yang menyatakan suatu bilangan tertentu

Pada kalimat berikut x + 5 = 12

Belum dapat mengatakan kalimat itu benar atau salah, sebab nilai (x) belum diketahui. Bila lambang (x) diganti dengan lambang bilangan cacah, barulah itu dapat dikatakan kalimat itu benar atau salah. Jika (x) diganti dengan “3” , kalimat itu bernilai salah ; tetapi bila (x) diganti dengan 7 , kalimat itu bernilai benar. Lambang (x) dapat pula diganti menggunaan huruf-huruf kecil dalam abjad lainnya, yaitu ; a, b,c,… x,y,z dari bentuk diatas

x+5 +12           (kalimat terbuka)

3+ 5 = 12          (kalimat Salah )

7+5 = 12          (kalimat benar)

Huruf x pada x + 5 = 12 disebut variable (peubah), sedangkan 5 dan 12 disebut konstanta

Contoh :          

Kalimat Terbuka	Peubah	Konstanta
x + 13 + 17	x	13 dan 17
7 – y = 12	y	7 dan 12
4z – 1 = 11	z	-1 dan 11

Catatan :

Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung satu atau lebih variabel dan belum diketahui nilai kebenarannya.

contoh:

x + 2 =5

2.   Pengertian Persamaan Linier Satu Variabel

Persamaan Linier Satu Variabel adalah kalimat terbuka yang dihubungkan tanda sama dengan ( “=”) dan hanya mempunyai satu variable berpangkat 1 . bentuk umum persamaan linier satu variable adalah ax + b = 0

contoh :

1.      x + 3 – 7

2.      3a + 4 = 19

3.       = 10

Pada contoh diatas x, a, b adalah variable (peubah) yang dapat diganti dengan sembarang bilangan yang memenuhi .

3.   Menyelesaikan Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV)

Himpuana Penyelesaian (HP) adalah himpunan dari penyelesaian-penyelesaian suatu persamaan .

Ada dua cara untuk menentukan penyelesaian dan himpunan penyelesaian dari suatu persamaan linier satu variable , yaitu :

a.       Subtitusi ;

b.      Mencari persamaan-persamaan yang ekuivalen

Suatu persamaan dapat dinyatakan ke dalam persamaan yang ekuivalen, dengan cara :

a.       Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama

b.      Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan bukan nol yang sama.

Contoh :

1.      Dengan menggunakan kode cara diatas , selesaikan persamaan 3x-1=14; jika x Merupakan anggota himpunan P = ( 3,4,5,6) !

Jawab :

3x-1+14 x  Є P = (3,4,5,6)

a.                   Cara subtitusi :

3x-1= 14;  jika x = 3 = maka 3(3) – 1 = 8 (salah)

3x-1= 14;  jika x = 4 = maka 3(4) – 1 = 11 (salah)

3x-1= 14;  jika x = 5 = maka 3(5) – 1 = 14 (benar)

3x-1= 14;  jika x = 6 = maka 3(6) – 1 = 17 (salah)

Jadi , penyelesaian dari 3x-1+14 adalah 5

b.                  Mencari persamaan-persamaan yang ekuivalen

	Persamaan	Operasi Hitung	Hasil
A b. c.	3x-1=14 (i)	Kedua ruas ditambah 1	3x-1+1 = 14 + 1    3x = 15                (ii)
	3x = 15	Kedua ruas dikalikan 1/3	3x = 15 x = 5   (iii)
	X =5

Dari table diatas, bila x = 5, disubtituskan pada (a),(b) dan (c) maka persamaan tersebut menjadi suatu kesamaan .

(a)    3x-1=14              3 (5) – 1 = 14

                               14 = 14      (ekuivalen)

(b). 3x =15               15 = 15   (ekuivalen)

(c)   x = 5                 5 = 5       (ekuivalen)

Berarti 3x – 1 = 14 dan 3x = 15 merupakan persamaan yang ekuivalen .

4.      Persamaan yang ekuivalen

Persamaan yang ekuivalen adalah persamaan-persamaan yang memiliki himpunan penyelesaian sama jika pada persamaan tersebut dilakukan operasi tertentu suatu persamaan yang  ekuivalen dinotasikan dengan tanda

            

  Contoh :

1.   Menyelesaikan PLSV dengan menggunakan lawan dan kebalikan bilangan

    contoh :

    Carilah penyelesaian dari :

    3 (3x + 4) = 6 ( x -2)

    jawab :

9x + 12 = 6x – 12

9x – 6x = -12-12

3x = -24

x =− 24/3

= -8

    Jadi , HP = {-8}

2.   Perhatikan persamaan 6x – 3 = 2x + 1 dengan x variable pada himpunan bilangan bulat. Untuk menentukan penyelesaian dari persamaan tersebut, dapat dilakukan dengan menyatakannya ke dalam persamaan yang ekuivalen, yaitu sebagai berikut :

Jawab :

6x – 3 = 2x + 1

6x – 3 + 3 = 2x + 1+3

6x               = 2x + 4

6x – 2x     = 4

4x               = 4

x                = 1

jadi himpunan pnyelesaiannya adalah 1

dalam garis bilangan , grafik hipunan pnyelesaian suatu persamaan dengan satu variable dinyatakan dengan sebuah noktah (titik) yang ditebalkan. Jadi grafik himpunan penyelesaian dari 6x – 3 = 2x + 1 adalah :

             -4   -3   -2   -1   0   1   2   3   4

Contohnya :

Gambarlah grafik penyelesaian persamaan berikut

1.      –P + 2 = 14

Jawab :

–P + 2        = 14

 -p              = 14 – 2

 -p              = 12

Grafik :

        -14  -13   -12   -11  -10     

Titik pada -12 ditebalkan

2.      2a + 3 = 6

2a         = 6 – 3

2a        = 3

a          =

grafik :

                                               

            Titik pada  ditebalkan .

B. Pertidaksamaan Linier Satu Variabel (PLSV)

1.   Pertidaksamaan Linier Satu Variabel

             Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan lambing <, >, ≥, dan  ≤ .  Contohnya bentuk pertidaksamaan : y + 7 < 7 dan 2y + 1 > y + 4

    Pertidaksamaan linier dengan satu variable adalah suatu kalimat terbuka  

    yang hanya memuat satu variable dengan derajad satu, yang

    dihubungkan oleh lambang <, >, ≥, dan  ≤. Variablenya hanya satu

    yaitu y dan berderajad satu. Pertidaksamaan yang demikian disebut

    pertidaksamaan linier dengan satu variable (peubah).

2.   Menentukan Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linier Satu variable

    Sifat- sifat pertidaksamaan adalah :

1.      Jika pada suatu pertidaksamaan kedua ruasnya ditambah atau dikurang dengan bilangan yang sama, maka akan diperoleh pertidaksamaan baru yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula

2.      Jika pada suatu pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan positif , maka akan diperoleh pertidaksamaan baru yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula

3.      Jika pada suatu pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif , maka akan diperoleh pertidaksamaan baru yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula bila arah dari tanda ketidaksamaan dibalik  

4.      Jika pertidaksamaannya mengandung pecahan, cara menyelesaikannya adalah mengalikan kedua ruasnya dengan KPK penyebut-penyebutnya sehingga penyebutnya hilang .

Contoh 1 :

1.   Tentukan himpunan penyelesaian 3x – 7 > 2x + 2 jika x merupakan anggota {1,2,3,4,… ,15}

Jawab :

3x – 7 > 2x + 2; x є {1, 2, 3, 4… 15}

3x –2x – 7 > 2x - 2x + 2                                             ( kedua ruas dikurangi 2x)

x – 7 > 2

x – 7 + 7 > 2 + 7                                                         ( kedua ruas dikurangi7 )       

x > 9

jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x ­| x > 9 ; x bilangan asli ≤ 15}

HP = {10, 11, 12, 13, 14, 15}

Contoh 2 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x – 1 < x + 3  dengan x variable pada himpunan bilangan cacah.

Jawab :

3x – 1 < x + 3

3x – 1+ 1 < x + 3 + 1              (kedua ruas ditambah 1 )

3x < x + 4 

3x + (-x) < x + (-x) +4                         (kedua ruas ditambah – x)

2x < 4

X < 2

Karena x anggota bilangan cacah maka yang memenuhi x < 2 adalah x = 0 atau x = 1

Jadi himpunan pnyelesaiannya adalah { 0,1 } .

Dalam garis bilangan, grafik himpunan penyelesaiannya adalah sebagai berikut

                 -1      0      1       2      3       4      5

Penyelesaian

Contoh :

 x +    < 6 +

 x         < 6 +  -  

 x          < 4 +          

 x -        < 4

  -     < 4

        < 4

-x         < 4 . 6

X         > -24

Contoh :

Sebuah perahu angkut dapat menampung dengan berat tidak lebih dari 1  ton . jika sebuah kotak beratnya 15 kg, maka berapa paling banyak kotak yang dapat diangkut oleh perahu ?

Jawab :

Kalimat matematika : 15 kg x ≤ 1  ton

Penyelesaian : 15 kg x ≤ 1 .500 kg

                                x ≤ 1 .500 kg

                                              15 kg

                                     x ≤     100

jadi perahu paling banyak mengangkut 100 kotak  .              

Soal

1.      Penyelesaian dari 5x – 1 = 2x + 11

            Jawab

          Penyelesaian 5x – 1 = 2x + 11

            5x – 1 = 2x + 11

             5x - 1 + 1 = 2x + 11 + 1

             5x = 2x + 12

             5x – 2x = 12

            3x = 12

  x = 12 : 3

·                      x = 4

·          

2.      Penyelesaian dari 3(x + 1) - 5 = 13,

 Penyelesaian 3(x + 1) - 5 = 13

 3(x + 1) - 5 = 13

 3x + 3 - 5 = 13

3x - 2 = 13

3x - 2 + 2 = 13 + 2

3x = 15

 x = 15 : 3

x = 5

3.        Penyelesaian persamaan

            ¹/₅ (2m + 1 ) = ¹/₄ ( m + 5 ), adalah ….

      Penyelesaian ¹/₅ ( 2m + 1 ) = ¹/₄ ( m + 5 )

     ¹/₅ ( 2m + 1 ) = ¹/₄ ( m + 5 ) à dikali dgn 20

     4 ( 2m + 1 ) = 5 ( m + 5 )

    8m + 4 = 5m + 25 à pakai cara cepat

    8m - 5m = 25 – 4

    3m = 21

    m = 21 : 3

    m = 7

4.      Umur Pak Agus 3 kali umur Iwan. Jika umur Pak Agus 22 tahun lebih tua dari umur Iwan, maka umur Iwan sekarang adalah….

Misal : umur Iwan = y tahun, maka umur Pak Agus = 3y tahun. Karena umur Pak Agus lebih tua 22 tahun, maka :

  umur Pak Agus = umur Iwan + 22

3y = y + 22 à pakai cara cepat

3y - y = 22

2y = 22

 y = 11

 jadi, umur Iwan adalah 11 tahun.